07/07/02の解答

問題はここへ

解答
(1)　が上整的とすると，
のモニックな最小多項式が存在して，
が成り立つ．とする．
このとき，は個の元によって生成される．
実際，とすると，
任意の整数に対して，と表せて，
この右辺のの最高次数はである．
したがって，この関係式を繰り返し用いることにより，
をの一次結合として表すことができる．
したがって，は有限生成な-加群である．

逆に，が有限生成な-加群とし，その生成元をとする．
ここでである．とする．このときより，
あるの元の組が存在してが成り立つ．
ここでとすればで，，
さらにはモニック多項式である．したがっては上整的である．

(2)　に対してを示せば良い．
のモニックな最小多項式をそれぞれとし，
，とする．このとき，
はによって張られる有限生成な-加群であり，
はによって張られる有限生成な-加群である．
したがって，は（）なる元全体によって
張られる有限生成な-加群である．
以上より，はの-部分加群であるので，
は有限生成で，(1)よりは上整的．
同様に，はの-部分加群であるので，
は有限生成で，(1)よりは上整的．
よってなのでは環である．