正則関数の性質

問題　複素平面内の単位開円盤|z|<1で正則な関数f(z)が，
全ての正整数kに対してを満たせば，
f(z)は単位開円盤|z|<1で定数0に等しいことを示せ．

ネイピア数の性質

問題　ある実数に対してなる整数が存在して，
が成り立つとき，を二次無理数という．
このとき自然対数の底は二次無理数でないことを示せ．
ただし，実数に対してと定められているとする．

整閉包は環をなすことの証明

問題　を整域とする．
をの商体とし，をの拡大体とする．
が上整的であるとは，
に対してあるモニック多項式
が存在して，が成り立つことをいう．
このとき次を示せ．

(1)　が上整的であることと，
が有限生成な-加群であることは同値である．

(2)　上整的なの元全体は環をなす．

なお，このをにおけるの整閉包という．

集合とその冪集合

問題　集合Aの冪集合を2^Aと表す．
任意の集合Aについて，2^AからAへの単射は存在しないことを示せ．

部分群と生成系

問題　Sを群Gの空でない部分集合とする．
(1)　Sによって生成されるGの部分群Hは，
Sを含むGの最小の部分群であることを示せ．
(2)　Gを有限群，SをGの生成系の1つであるとする．
Gの任意の元はSの有限個の元の積で表せることを示せ．

log2の級数表示

問題　log2=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+・・・+(-1)^n-1(1/n)+・・・を示せ．

Cauchy-Schwarzの不等式

問題　uとvを実内積空間Vの任意の元とし，uとvの内積を(u,v)と表す．
このとき(u,v)²≦(u,u)(v,v)が成り立つことを示せ．

集合列の上極限と下極限

有限群の元の性質

問題　有限群の任意の元aに対してある正整数nが存在し，
aⁿ=1が成り立つことを示せ．

収束列の平均の極限

問題　{a_n}を実数aに収束する数列とする．
このとき，(a₁+a₂+a₃+・・・+a_n)/nもaに収束することを示せ．

ベクトルと外積

問題　a,b,c,d∈R³がa×b=c×d≠0を満たすならば，
cとdは以下のように表されることを示せ．
c=pa+qb,　d=ra+sb,　ps-qr=1
ただし，"×"はベクトルの外積であり，p,q,r,s∈Rである．

写像の全単射

群の可換性

問題　群Gの任意の元xがx²=1を満たすならばGは可換群であることを示せ．

収束数列の有界性

問題　収束する数列は有界であることを示せ．

ベクトルと一次変換