一日一問、数学の問題を出題します。 コツコツ解いて数学に親しみましょう。
x≠-1のとき、自然数nに対して、1+x^n=(1+x)∑[k=0→n-1](-x)^k(1+x^n)/(1+x)=∑[k=0→n-1](-x)^k1/(1+x)-∑[k=0→n-1](-x)^k=-(x^n)/(1+x)が成り立つ。両辺を区間[0,1]で積分すれば、∫[0,1](1/(1+x))dx-∫[0,1]∑[k=0→n-1]((-x)^k)dx=-∫[0,1]((x^n)/(1+x))dxlog2-∑[k=0→n-1]((-1)^k)/(k+1)=-∫[0,1]((x^n)/(1+x))dxを得る。x∈[0,1]ならば、0≦(x^n)/(1+x)≦x^nであるので、0≦|log2-∑[k=0→n-1]((-1)^k)/(k+1)|=|-∫[0,1]((x^n)/(1+x))dx|=∫[0,1]((x^n)/(1+x))dx≦∫[0,1](x^n)dx=1/(n+1)→0（n→∞）を得る。したがって、log2=∑[k=0→∞]((-1)^k)/(k+1)が成り立つ。
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x≠-1のとき、自然数nに対して、
1+x^n=(1+x)∑[k=0→n-1](-x)^k
(1+x^n)/(1+x)=∑[k=0→n-1](-x)^k
1/(1+x)-∑[k=0→n-1](-x)^k=-(x^n)/(1+x)
が成り立つ。両辺を区間[0,1]で積分すれば、
∫[0,1](1/(1+x))dx-∫[0,1]∑[k=0→n-1]((-x)^k)dx=-∫[0,1]((x^n)/(1+x))dx
log2-∑[k=0→n-1]((-1)^k)/(k+1)=-∫[0,1]((x^n)/(1+x))dx
を得る。x∈[0,1]ならば、0≦(x^n)/(1+x)≦x^nであるので、
0≦|log2-∑[k=0→n-1]((-1)^k)/(k+1)|
=|-∫[0,1]((x^n)/(1+x))dx|
=∫[0,1]((x^n)/(1+x))dx
≦∫[0,1](x^n)dx
=1/(n+1)
→0（n→∞）
を得る。したがって、log2=∑[k=0→∞]((-1)^k)/(k+1)が成り立つ。
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