一日一問、数学の問題を出題します。 コツコツ解いて数学に親しみましょう。
{a[n]}をaに収束する数列とする。このときlim[n→∞]|a[n]|=|a|であるので、1>0に対してある自然数mが存在して、任意のn>mに対して、||a[n]|-|a||<1すなわち|a|-1<|a[n]|<|a|+1が成り立つ。ここで、M=max{|a[1]|,|a[2]|,...,|a[m]|,|a|+1}とおけば、任意の自然数nに対して|a[n]|≦Mが成り立つ。したがって{a[n]}は有界である。
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{a[n]}をaに収束する数列とする。
このときlim[n→∞]|a[n]|=|a|であるので、
1>0に対してある自然数mが存在して、
任意のn>mに対して、
||a[n]|-|a||<1
すなわち
|a|-1<|a[n]|<|a|+1
が成り立つ。ここで、
M=max{|a[1]|,|a[2]|,...,|a[m]|,|a|+1}
とおけば、任意の自然数nに対して
|a[n]|≦M
が成り立つ。したがって{a[n]}は有界である。
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