一日一問、数学の問題を出題します。 コツコツ解いて数学に親しみましょう。
∀ε＞0を1つとる。lim[n→∞]a[n]=aより、εに対して、∃m[0]∈N, s.t. ∀n＞m[0] ⇒ |a[n]-a|＜ε/2・・・(*)が成り立つ。ここで、|(a[1]-a)+(a[2]-a)+(a[3]-a)+・・・+(a[m[0]]-a)|=M≧0と置く。このときlim[n→∞]M/n=0より、εに対して、∃m[1]∈N, s.t. ∀n＞m[1] ⇒ |M/n-0|=M/n＜ε/2・・・(**)が成り立つ。m=max{m[0],m[2]}として，∀n＞mのとき、|((a[1]+a[2]+a[3]+・・・+a[n])/n)-a|=|((a[1]-a)+(a[2]-a)+(a[3]-a)+・・・+(a[n]-a))/n|=|(M+(a[m[0]+1]-a)+(a[m[0]+2]-a)+・・・+(a[n]-a))/n|≦|M/n|+(|a[m[0]+1]-a|/n)+・・・+(|a[n]-a|/n) ∵三角不等式＜(ε/2)+((n-m[0])/n)(ε/2) ∵(*)と(**)＜(ε/2)+(n/n)(ε/2) ∵n-m[0]＜n=εが成り立つ。したがって、lim[n→∞](a[1]+a[2]+a[3]+・・・+a[n])/n=aが成り立つ。
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∀ε＞0を1つとる。
lim[n→∞]a[n]=aより、εに対して、
∃m[0]∈N, s.t. ∀n＞m[0] ⇒ |a[n]-a|＜ε/2・・・(*)
が成り立つ。ここで、
|(a[1]-a)+(a[2]-a)+(a[3]-a)+・・・+(a[m[0]]-a)|=M≧0
と置く。このときlim[n→∞]M/n=0より、εに対して、
∃m[1]∈N, s.t. ∀n＞m[1] ⇒ |M/n-0|=M/n＜ε/2・・・(**)
が成り立つ。m=max{m[0],m[2]}として，∀n＞mのとき、
|((a[1]+a[2]+a[3]+・・・+a[n])/n)-a|
=|((a[1]-a)+(a[2]-a)+(a[3]-a)+・・・+(a[n]-a))/n|
=|(M+(a[m[0]+1]-a)+(a[m[0]+2]-a)+・・・+(a[n]-a))/n|
≦|M/n|+(|a[m[0]+1]-a|/n)+・・・+(|a[n]-a|/n) ∵三角不等式
＜(ε/2)+((n-m[0])/n)(ε/2) ∵(*)と(**)
＜(ε/2)+(n/n)(ε/2) ∵n-m[0]＜n
=ε
が成り立つ。したがって、
lim[n→∞](a[1]+a[2]+a[3]+・・・+a[n])/n=a
が成り立つ。
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