一日一問、数学の問題を出題します。 コツコツ解いて数学に親しみましょう。
集合列{X[n]}が単調減少であるときX[n]↓と表し、単調増加であるときはx[n]↑と表すとする。limsup[n→∞]A[n]=lim[n→∞]∪[i=n→∞]A[i]を示す。X[n]↓と仮定すると、limsup[n→∞]X[n]=∩[n=1→∞]∪[i=n→∞]X[i]=(X[1]∪X[2]∪X[3]∪・・・)∩(X[2]∪X[3]∪・・・)∩(X[3]∪・・・)∩・・・=X[1]∩X[2]∩X[3]∩・・・ ∵X[n]↓よりX[i]=X[i]∪X[i+1]∪X[i+2]∪・・・=∩[n=1→∞]X[n]=∩[i=n→∞]X[i] for ∀n ∵X[n]↓=∪[n=1→∞]∩[i=n→∞]X[i]=liminf[n→∞]X[n]であるので、lim[n→∞]X[n]=∩[n=1→∞]X[n]を得る。・・・(*)ここで、集合列{∪[i=n→∞]A[i]}は単調減少なので、(*)においてX[n]=∪[i=n→∞]A[i]とすれば、lim[n→∞]∪[i=n→∞]A[i]=∩[n=1→∞]∪[i=n→∞]A[i]=limsup[n→∞]A[n]を得る。同様の議論でliminf[n→∞]A[n]=lim[n→∞]∩[i=n→∞]A[i]が示せる。実際、X[n]↑と仮定すると、liminf[n→∞]X[n]=∪[n=1→∞]∩[i=n→∞]X[i]=(X[1]∩X[2]∩X[3]∩・・・)∪(X[2]∩X[3]∩・・・)∪(X[3]∩・・・)∪・・・=X[1]∪X[2]∪X[3]∪・・・ ∵X[n]↑よりX[i]=X[i]∩X[i+1]∩X[i+2]∩・・・=∪[n=1→∞]X[n]=∪[i=n→∞]X[i] for ∀n ∵X[n]↑=∩[n=1→∞]∪[i=n→∞]X[i]=limsup[n→∞]X[n]であるので、lim[n→∞]X[n]=∪[n=1→∞]X[n]を得る。・・・(**)ここで、集合列{∩[i=n→∞]A[i]}は単調増加なので、(**)においてX[n]=∩[i=n→∞]A[i]とすれば、lim[n→∞]∩[i=n→∞]A[i]=∪[n=1→∞]∩[i=n→∞]A[i]=liminf[n→∞]A[n]を得る。
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1 件のコメント:
集合列{X[n]}が単調減少であるときX[n]↓と表し、
単調増加であるときはx[n]↑と表すとする。
limsup[n→∞]A[n]=lim[n→∞]∪[i=n→∞]A[i]を示す。
X[n]↓と仮定すると、
limsup[n→∞]X[n]
=∩[n=1→∞]∪[i=n→∞]X[i]
=(X[1]∪X[2]∪X[3]∪・・・)∩(X[2]∪X[3]∪・・・)∩(X[3]∪・・・)∩・・・
=X[1]∩X[2]∩X[3]∩・・・ ∵X[n]↓よりX[i]=X[i]∪X[i+1]∪X[i+2]∪・・・
=∩[n=1→∞]X[n]
=∩[i=n→∞]X[i] for ∀n ∵X[n]↓
=∪[n=1→∞]∩[i=n→∞]X[i]
=liminf[n→∞]X[n]
であるので、lim[n→∞]X[n]=∩[n=1→∞]X[n]を得る。・・・(*)
ここで、集合列{∪[i=n→∞]A[i]}は単調減少なので、
(*)においてX[n]=∪[i=n→∞]A[i]とすれば、
lim[n→∞]∪[i=n→∞]A[i]
=∩[n=1→∞]∪[i=n→∞]A[i]
=limsup[n→∞]A[n]
を得る。
同様の議論でliminf[n→∞]A[n]=lim[n→∞]∩[i=n→∞]A[i]が示せる。
実際、X[n]↑と仮定すると、
liminf[n→∞]X[n]
=∪[n=1→∞]∩[i=n→∞]X[i]
=(X[1]∩X[2]∩X[3]∩・・・)∪(X[2]∩X[3]∩・・・)∪(X[3]∩・・・)∪・・・
=X[1]∪X[2]∪X[3]∪・・・ ∵X[n]↑よりX[i]=X[i]∩X[i+1]∩X[i+2]∩・・・
=∪[n=1→∞]X[n]
=∪[i=n→∞]X[i] for ∀n ∵X[n]↑
=∩[n=1→∞]∪[i=n→∞]X[i]
=limsup[n→∞]X[n]
であるので、lim[n→∞]X[n]=∪[n=1→∞]X[n]を得る。・・・(**)
ここで、集合列{∩[i=n→∞]A[i]}は単調増加なので、
(**)においてX[n]=∩[i=n→∞]A[i]とすれば、
lim[n→∞]∩[i=n→∞]A[i]
=∪[n=1→∞]∩[i=n→∞]A[i]
=liminf[n→∞]A[n]
を得る。
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