07/07/03の解答

問題はここへ

解答
が二次無理数とであると仮定すると，なる整数が存在して
が成り立つ．このときであり，
なので，



が成り立つ．ここで三角不等式より，



この各辺にを乗じて



を得る．ここで，



であるので，が成り立ち，
はさみうちの原理よりが成り立つ．
よって，に対してある自然数が存在して，
なる任意の自然数に対してが成り立つ．
また，任意のに対しては整数なので，
なる任意の自然数に対してが成り立つ．

のときなので，，
すなわち，



が成り立つ．ここでは整数なので，
はを割り切る．
これがなる任意の自然数に対して成り立つので
を得る．
が奇数のときは，が偶数のときはなので，
この2つの式を連立させてを得るが，
これはに反する．
したがっては二次無理数ではない．