07/07/04の解答

問題はここへ

解答
rをなる任意の実数とする．
このとき0を中心とする開円盤は単位開円盤に含まれる．
f(z)は単位開円盤で正則なので，f(z)を開円盤でテイラー展開できる．
f(z)のテイラー展開をとする．
仮定より任意の正整数kに対してなので，
が成り立つ．
特にk=1のとき，
なので，を得る．
次にk=2のとき，
なので，を得る．
これをk=3,4,5,…と繰り返すことにより，任意のk≧0に対してを得る．
したがってf(z)は開円盤で0に等しい．
ここでrはなる任意の実数なので，f(z)は単位開円盤で0に等しい．

正則関数の性質

問題　複素平面内の単位開円盤|z|<1で正則な関数f(z)が，
全ての正整数kに対してを満たせば，
f(z)は単位開円盤|z|<1で定数0に等しいことを示せ．

07/07/03の解答

問題はここへ

解答
が二次無理数とであると仮定すると，なる整数が存在して
が成り立つ．このときであり，
なので，



が成り立つ．ここで三角不等式より，



この各辺にを乗じて



を得る．ここで，



であるので，が成り立ち，
はさみうちの原理よりが成り立つ．
よって，に対してある自然数が存在して，
なる任意の自然数に対してが成り立つ．
また，任意のに対しては整数なので，
なる任意の自然数に対してが成り立つ．

のときなので，，
すなわち，



が成り立つ．ここでは整数なので，
はを割り切る．
これがなる任意の自然数に対して成り立つので
を得る．
が奇数のときは，が偶数のときはなので，
この2つの式を連立させてを得るが，
これはに反する．
したがっては二次無理数ではない．