一日一問、数学の問題を出題します。 コツコツ解いて数学に親しみましょう。
a×b≠0よりaとbは一次独立である。また、cはc×d=a×bに垂直だから組{a,b,c}は一次従属である。したがって、x=y=z=0でない実数x,y,zが存在してxa+yb+zc=0が成り立つ。このときz≠0である。実際z=0とするとxa+yb=0で、xとyの少なくとも一方は0でないが、aとbは一次独立であったのでこれは不可能である。したがって、ある実数p,qが存在してc=pa+qbと表せる。同様にして、dはc×d=a×bに垂直だから、ある実数r,sが存在してd=ra+sbと表せる。このとき、a×b=c×d=(pa+qb)×(ra+sb)=pr(a×a)+ps(a×b)+qr(b×a)+qs(b×b)=ps(a×b)-qr(a×b) ∵a×a=0 and a×b=-(b×a) (∀a,b∈R^3)=(ps-qr)(a×b)であるので、係数比較によりps-qr=1を得る。
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a×b≠0よりaとbは一次独立である。
また、cはc×d=a×bに垂直だから組{a,b,c}は一次従属である。
したがって、x=y=z=0でない実数x,y,zが存在して
xa+yb+zc=0が成り立つ。このときz≠0である。
実際z=0とするとxa+yb=0で、xとyの少なくとも一方は0でないが、
aとbは一次独立であったのでこれは不可能である。
したがって、ある実数p,qが存在してc=pa+qbと表せる。
同様にして、dはc×d=a×bに垂直だから、
ある実数r,sが存在してd=ra+sbと表せる。
このとき、
a×b=c×d
=(pa+qb)×(ra+sb)
=pr(a×a)+ps(a×b)+qr(b×a)+qs(b×b)
=ps(a×b)-qr(a×b) ∵a×a=0 and a×b=-(b×a) (∀a,b∈R^3)
=(ps-qr)(a×b)
であるので、係数比較によりps-qr=1を得る。
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