一日一問、数学の問題を出題します。 コツコツ解いて数学に親しみましょう。
u=0のときは明らかに成り立つ。以下ではu≠0の場合を考える。tを任意の実数とする。Vが実内積空間だから、tu+v∈Vで、(tu+v,tu+v)=(t^2)(u,u)+2t(u,v)+(v,v)≧0が成り立つ。a=(u,u)、b=2(u,v)、c=(v,v)と置けば、u≠0よりa≠0であり、a(t^2)+bt+c≧0が成り立つ。したがって、二次方程式a(t^2)+bt+c=0の解は、重解であるか複素解であることが分かる。したがって、二次方程式の解の判別式より、(b^2)-4ac≦0、すなわちb^2≦4acを得る。もとの記号に戻せば4(u,v)^2≦4(u,u)(v,v)よって(u,v)^2≦(u,u)(v,v)が成り立つ。
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u=0のときは明らかに成り立つ。以下ではu≠0の場合を考える。
tを任意の実数とする。Vが実内積空間だから、tu+v∈Vで、
(tu+v,tu+v)=(t^2)(u,u)+2t(u,v)+(v,v)≧0
が成り立つ。
a=(u,u)、b=2(u,v)、c=(v,v)
と置けば、u≠0よりa≠0であり、
a(t^2)+bt+c≧0
が成り立つ。
したがって、二次方程式a(t^2)+bt+c=0の解は、
重解であるか複素解であることが分かる。
したがって、二次方程式の解の判別式より、
(b^2)-4ac≦0、すなわちb^2≦4ac
を得る。もとの記号に戻せば
4(u,v)^2≦4(u,u)(v,v)
よって
(u,v)^2≦(u,u)(v,v)
が成り立つ。
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